对角矩阵（diagonal matrix）是一类十分特殊的矩阵，它是只有对角线上有非零元而其它元素均为零的一类方阵，这类方阵对应的线性变换是伸缩变换。对角矩阵在矩阵有关计算中应用广泛。
目录
1 定义
2 性质
3 准对角矩阵
4 伸缩变换
5 上下节
6 参考资料
定义[]
设
D
=
(
d
i
j
)
∈
P
n
×
n
{\displaystyle D = (d_{ij}) \in \mathbb{P}^{n \times n}}
，如果有
a
i
j
=
0
,
i
≠
j
,
i
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle a_{ij} = 0, i \ne j, i,j = 1,2,\cdots,n}
，就称
A
{\displaystyle A}
是一个对角矩阵，常记作
D
d
i
,
n
{\displaystyle D_{d_i,n}}
，其中
d
i
=
a
i
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle d_i = a_{ii}, i = 1,2,\cdots,n}
。
对角矩阵中对角线上元素都相等的矩阵称为数量矩阵，单位矩阵、零矩阵都是对角矩阵。
性质[]
对角矩阵的特征值就是所有对角线上的元素；
|
D
d
i
,
n
|
=
d
1
d
2
⋯
d
n
{\displaystyle |D_{d_i, n}| = d_1 d_2 \cdots d_n}
；
设有对角阵
D
d
i
,
n
,
D
f
i
,
n
{\displaystyle D_{d_i,n}, D_{f_i,n}}
，那么
D
d
i
,
n
+
D
f
i
,
n
=
D
(
d
i
+
f
i
)
,
n
{\displaystyle D_{d_i,n} + D_{f_i,n} = D_{(d_i+f_i),n}}
，
k
D
d
i
,
n
=
D
k
d
i
,
n
{\displaystyle k D_{d_i,n} = D_{kd_i,n}}
，
D
d
i
,
n
D
f
i
,
n
=
D
(
d
i
f
i
)
,
n
{\displaystyle D_{d_i,n} D_{f_i,n} = D_{(d_if_i),n}}
；
设
D
d
i
,
n
{\displaystyle D_{d_i,n}}
满足
d
i
≠
d
j
,
i
≠
j
{\displaystyle d_i \ne d_j, i \ne j}
，如果
A
{\displaystyle A}
与
D
d
i
,
n
{\displaystyle D_{d_i,n}}
可交换，那么
A
{\displaystyle A}
也是对角矩阵；
对角矩阵的逆，就是将对角线上每个元素取倒数得到，只有在对角线上没有
0
{\displaystyle 0}
时矩阵才有逆。
上面的第四条，我们一般习惯说“与对角矩阵可交换的是对角矩阵”，但它有个隐含的前提：对角线上的元素两两互异，缺少这个条件是不能推得相关结论的，一个反例就是单位矩阵。
准对角矩阵[]
准对角矩阵又称分块对角矩阵，是指如下形式的矩阵
(
A
1
A
2
⋱
A
n
)
{\displaystyle \begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\&&\ddots\\&&&A_n\end{pmatrix}}
它也有类似于对角矩阵性质第三条的性质，此外
|
A
|
=
|
A
1
|
|
A
2
|
⋯
|
A
s
|
;
{\displaystyle |A| = |A_1||A_2|\cdots|A_s|;}
准对角矩阵的逆，就是将对角线上每个矩阵取逆得到，只有在对角线上所有矩阵可逆时原矩阵才有逆。
设
D
=
(
a
1
E
n
1
a
2
E
n
2
⋱
a
s
E
n
s
)
∈
P
n
×
n
{\displaystyle D = \begin{pmatrix}a_1E_{n_1}\\&a_2E_{n_2}\\&&\ddots\\&&&a_sE_{n_s}\end{pmatrix} \in \mathbb{P}^{n \times n}}
，且
∑
k
=
1
s
n
k
=
n
,
a
i
≠
a
j
,
i
≠
j
,
i
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
s
{\displaystyle \sum_{k=1}^s n_k = n, a_i \ne a_j, i \ne j, i,j=1,2,\cdots,s}
，则与
D
{\displaystyle D}
可交换的
A
{\displaystyle A}
具有如下分块形式
A
=
(
A
1
A
2
⋱
A
s
)
{\displaystyle A = \begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\&&\ddots\\&&&A_s\end{pmatrix}}
其中，
A
i
{\displaystyle A_i}
是
n
i
{\displaystyle n_i}
阶方阵，
i
=
1
,
2
,
⋯
,
s
.
{\displaystyle i = 1, 2, \cdots, s.}
伸缩变换[]
我们称一个线性空间
V
{\displaystyle V}
上的线性变换
A
{\displaystyle \mathcal{A}}
是伸缩变换，是指对某一
V
{\displaystyle V}
的一组基
{
e
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{ e_i \}_{i \in I}}
中的一个向量
e
i
{\displaystyle e_i}
，都有
A
e
i
=
k
i
e
i
{\displaystyle \mathcal{A}e_i = k_i e_i}
，其中
k
i
{\displaystyle k_i}
是仅依赖于
e
i
{\displaystyle e_i}
的常数，可以证明，如果
V
{\displaystyle V}
的维数为
n
<
+
∞
{\displaystyle n < +\infty}
，那么伸缩变换在这组基底下的矩阵就是对角矩阵
D
k
i
,
n
.
{\displaystyle D_{k_i, n}.}
上下节[]
上一节：矩阵的逆
下一节：初等矩阵
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）